Первой командой Рыбчинского была ФК «Ника», где он начинал заниматься футболом. Вскоре футболиста заметило «Торпедо», в котором он провел около года. В 2012-м Рыбчинский пришел в Академию «Локомотива», а уже в 2015-м его пригласили на сборы с молодежной командой. Вместе с молодежкой в 2016 году Дмитрий стал победителем первенства России.

В сезоне-2018/19 Рыбчинский выступал за «Казанку», а 15 июля 2019 года дебютировал за главную команду в матче с «Рубином». Свой первый гол за «Локомотив» Дмитрий забил 24 октября 2020 года «Ротору».